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指数函数和自然对数

admin 2019-06-03 175人围观 ,发现0个评论

指数函数和自然对数

我经常想e真实的意义是什么呢?不是字母自身意义,而是作为一个数学常数的意义

经过查阅自然对数的界说,你会发现:

这个数学常数e是根据自然对数发作的。

自然对数原名为双曲对数,他是根据一个无理常数e=2.71828…

这是一个正确的,可是毫无用处的循环界说。

许多数学书的解说谨慎却枯燥无味,并不合适初学者了解。

现在收好你们那些枯燥无味的数学书,我将向你们展现我的领会,高水平的洞察力。

e不仅仅一个数字

假如你认为是与相同的无理数。的确,这是正确的,可是你的了解仅仅停留在外表。

是圆周长与半径的比,他是一切圆都与身俱来的的份额。影响着圆的周长和面积、球体的面积和体积等的核算。阐明晰一切圆都是有相关的,而且三角函数也是来历于此。

e是接连增加体系的极限增量,e让你得到那些一纳秒增加一点点的复合增加的极限成果。他阐明晰不管那种体系的增加都是以接连的指数的方法增加的。如人口、反射性衰变等等都是用e来表明出来的。

指数函数和自然对数

e也是一切增加体系的单位增量。这就像每一个数字都能够用一个单位数字1来表明,每一段线段都能够用一个单位线段来表明,每一个体系增量都能够用一个单位增量e来表明

了解指数增加

让咱们从一个根本的体系来说起——翻倍的时刻体系。

那么这些看起来如下图:

用小圆点表明:在每一次细菌进行割裂的时分,小圆点都割裂都成两倍。

假如咱们让他割裂1次就得到,割裂4次那么便是,割裂x次,咱们就会得到。

不失一般性:

用另一种方法表达的话,那便是以100%的增加率来表明:

事实上,这两个式子是等价的。

当然,咱们能够运用任何的百分率(25%、50%、75%……)来替代100%,就会得到一个新的增加率公式,所以不失一般性,一切的式子能够表明为:

细究

咱们的式子中增量是以离散的方法散布的,咱们的细菌是等候一段时刻后,在某个时刻忽然割裂出另一个。咱们感爱好的是,细菌怎么像戏法相同的抵达某时刻时忽然割裂出另一个呢?根据增量公式,绿色细胞是忽然在一个单位时刻出割裂出来(如上图)。但实际不是如此,假如你扩大来看(如下图),细菌每时每刻都在割裂。

绿细胞并没有当即被割裂出来,而是慢慢地进行着。当抵达一个单位时刻,绿细胞就割裂完好了。然后他就会变成一个新的蓝细胞然后持续刚刚的割裂。

在这个式子中,条件改变了么?

没有,在这个细胞割裂的景象中,割裂一半的绿细胞依然啥事都没做,直到他完好的从蓝细胞中割裂出来。

可是钱的核算进程是不相同的。当咱们用一美分获取利息时,这一美分每时每刻所发作的利息都能够当即成为本金持续发作利息。咱们并不需要等候他直到咱们能完好赚得一美元后。

根据咱们旧的考虑方法,利息增加看起来如下图:

这并不是正确的答案,咱们的利息增加不是在某个时刻忽然发作的。让咱们扩大来看,咱们的利息每时每刻都在增加。咱们能够在一年内赚取100%的金额,也能够在6个月内赚取50%的金额。然后,后6个月赚取剩余的50分:

可是这依然不正确!在六个月时,咱们已经有50美分了,咱们忘记了一点,便是这50美分在接下来的时刻里也会有利息的。如下图:

由于咱们的份额是50%每半年,所以50美分会赚得25美分,所以下一年,咱们将得到

咱们总共获得2.25美元。让咱们回到一开端的公式,增量能够写成如下公式:

深究杂乱的增加

是时分步步深入了,刚刚咱们用50%替代了100%,假如咱们持续扩大,使得每4个小时增加来赚取咱们的利息,咱们画出更多的点来看看状况:

完美!前后12个月总共赚得1+1+0.33+0.04=2.37

咱们重新整理一下这些增加改变是怎么发作的吧:

懂见红后多久会生么?万事开头难,所以我把我的思路和图表放在一同,以便于咱们了解。如此咱们就得到了一个增加率为1/3的等式

咱们总共得到了2.37美元,比之前的2.25美元多了0.12美元。

咱们的获得的金钱能无限增加么?

为什么咱们不必更小的增加率来获得跟多的金钱呢?咱们获得金钱只会趋近于一个点,我尝试着用数据证明这个问题,而不必杂乱的微积分:

n
1 2
2 2.25
3 2.37
5 2.488
10 2.5937
100 2.7048
1,000 2.7169
10,000 2.71814
100,000 2.718268
1,000,000 2.7182804
……

n获得越大值,他的成果越挨近2.71828……,等会,这不便是咱们的e么?

没错,在令人厌恶的数学中,e被界说为接连增加体系的极限增量:

这个极限式子的成果便是e,一起,正如你所见,咱们最终的金钱只能挨近于e,而不能无限上涨。

他们悉数的意义是啥?

e是一个时刻单位内的增量。在每一个细小的进程中所发明的利息也会开端增加。当一切工作都完结时,你就会的到e。

所以,假如你从一美元开端,咱们就会得到1e,假如咱们从2美元开端,那么咱们就会得到2e。假如咱们从11.79美元开端,就会的到11.79e。

e是一个增加极限。如光速c代表光的速度相同,代表着增加体系的增加速度,你不可能到达增加的极限,可是,根据这些参考点和通用的常数,你能够写下每一个增量

假如增加率不同呢?

这是个好问题,假如咱们运用50%来替代100%,咱们仍能得到e吗?

留意,假如用50%的复合增加率,咱们能得到如下公式:

那么,接下来咱们该怎么办呢?如上所说,50%是增加率,而数字n是代表将复增加率分为n个周期进行复合。假如n为50,那么,便是把50%分为50个周期,每个周期为1%。

那么,回想一下,咱们在上面表格中也有100%分为100分,即:

恩,如同有什么类似的当地,咱们把100%分为100份,每份是1%;50%分为50份,每份也是1%。如此就能得到下述公式:

这十分奇特,,这跟e的幂是相同的。假如咱们换成300%,那么,e的幂也会变为3倍,即。

尽指数函数和自然对数管咱们运用的是1%,可是你能够用任何一个更小的数,如0.1%、0.01%等等,可是得到的成果都是相同的,那便是如下公式:

假如咱们300%的单位时刻是2年呢?经过咱们的证明得到如下:

(证明进程不在赘述,有爱好同学可自己查阅下方参考文献。)

不失一般性:

这便是数学的魅力,咱们经过幂的方法吧,增加率和单位时刻联络在一同。

在函数中,咱们能得到如下的两个信息:

让我解说下这个现象,这是阐明100%的增加率在3年内指数函数和自然对数和300%的增加率在1年内的总影响是相同的,而不是今后每个时刻段都相同。

【注】本文内容部分翻译自:https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-t指数函数和自然对数o-exponential-functions-e/

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修改 ∑Pluto

来历:算法数学之美

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